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徳田雅彦

複素積分の質問です

0 2016/09/13 (Tue) 08:17:49

お久しぶりです。
Schrödinger場の勉強をしていて、複素積分で行き詰まっています。
どうも複素積分は苦手です。
Kenzouさんのテキストを参考に画像でアップした積分を計算したのですが、自信がありません(^^;
お手数をおかけしますが、よろしかったら、アドバイスお願いしますm(_ _)m


KENZOU - Re:複素積分の質問です 2016/09/13 (Tue) 15:08:58
徳田さん,お久しぶりです,KENZOUです。

小生,年末のギターアンサンブル発表会に向けた練習に時間をとられ,物理にはなかなか手が回らないといった状況です(^^);。

>よろしかったら、アドバイスお願いしますm(_ _)m

アップされた積分は散乱問題などによく登場しますね。
この積分は,HPの数学のコーナの「対話・グリーン関数(1)」のレポートP.14あたりからの計算が参考になるのではと思いますが,一度,当たってみてください。

また,当掲示板でバクさんが紹介されている下記サイトも参考になると思います。
http://www.kikuya-rental.com/bbs/?owner_name=amonphys&action=img&thread_id=146&reply_id=5&number=1&size=3

>どうも複素積分は苦手です。

そうおっしゃらず,いろいろな計算例に当たって慣れていってください。




 
徳田雅彦 - お返事ありがとうございました 2016/09/14 (Wed) 08:17:25
>対話・グリーン関数(1)…

これを参考にして計算したのですが、今一です
なお、アップした式を留数での計算はできています。これを主値積分で行うのがもう一つはっきりしません。

色々考えてみます。
匿名 - Re:複素積分の質問です 2016/09/14 (Wed) 18:15:32
>留数での計算はできています。

それなら答えはでているわけですね。

>これを主値積分で行うのがもう一つはっきりしません

アップされた最終の式が正しいとすれば(確認したわけではないので)、
1次元で考えてガウスの積分公式の複素数版を使えばどうでしょうか。ご参考にはならないかもしれませんが、経路積分の第2話にその公式がでています。
∫[-∞,∞]dxexp[iαx^2]=√(iπ/α]


徳田雅彦

すみません符号が違っていました

0 2016/09/13 (Tue) 08:28:45

計算を訂正して送ります。
バク

質問です

0 2016/08/15 (Mon) 11:59:30

お久しぶりです。
その後、素粒子標準模型の勉強を続けていますが、遅々と進みません。
計算もさることながら、素粒子の分類と使い方が今ひとつスコンと落ちてこないのです。
目標は中性子の崩壊計算です。

さて、下記のサイト(HPからつながらないのですが…検索でたまたま見つけました)
http://hb3.seikyou.ne.jp/home/E-Yama/RelQCD.pdf

このテキストにある「相対論的シュレーディンガー方程式」の節で因果律と矛盾する根拠に、画像でアップした式がありますが、これについて何か参考になる資料を紹介していただければうれしく思います。
よろしくお願い申し上げます。

私は今、一般相対論的量子論を考えているのですが、テキストにある「相対論的シュレーディンガー方程式」は大いに参考になるものです。
うまくいけば今の中期量子論をさらに量子力学に近づけらレルのではないかと妄想しています。

KENZOU - Re:質問です 2016/08/15 (Mon) 15:11:01
バクさん、こんにちは、KENZOUです。

>HPからつながらないのですが…

失礼しました。別のファイルがリンクされていましたね。早速修正しておきました(残念ながらLatexで書いた原稿を逸失したらしく、pdfを生協のサーバーから逆ダウンロードして対処)。

さて、ご質問の件ですが

>「相対論的シュレーディンガー方程式」の節で因果律と矛盾する根拠に、画像でアップした式がありますが、これについて何か参考になる資料を紹介していただければうれしく思います。

画像でアップされた式は「ジョルダン・パウリの不変Δ(デルタ)関数」とか単に「不変Δ関数」と呼ばれます。これに関する資料としてワタシの手元にあるのは

1)西島和彦「相対論的量子力学」(培風館)P6-7
2)西島和彦「場の理論」(紀伊国屋書店)P60-62
3)中西襄「場の量子論」(培風館)P69
4)A.N.カマール、高橋康訳「場の理論計算入門」P35-36

いったところです。4)の資料には次のような分かりやすい説明が載っています。
『微視的因果律というのは、任意の2つの物理量が、互いに空間的に離れたところで交換することをいう。つまり任意の2つの物理量は、空間的に離れたところで同時に正確に測定できる。言いかえると、任意の2つの物理量は、空間的に離れたところで、不確定性関係からくる制限を受けない。
   [φ(x),φ(y)]=0 (xとyが空間的)』

また、ネット上では東島清先生の
「場の理論のまとめ」
http://www-het.phys.sci.osaka-u.ac.jp/‾higashij/lecture/pa05/ft_rev1_h17.pdf P6-7
などがあります。

その他、「不変デルタ関数」で検索すれば目的に沿ったものが見つかるかも知れませんね。

>私は今、一般相対論的量子論を考えているのですが

中西襄「相対論的量子論」というBLUE BACKSの一般向けの本があります。でてくる数式は最小限ですが、物理的な意味をしっかりと理解するのには結構いい本だと思いますので、ご紹介しておきます。
バク - Re:質問です 2016/08/15 (Mon) 17:51:54 Mail

ご丁寧な回答ありがとうございますm(_ _)m

ご紹介いただいた資料で、あの積分計算を実行する方法について述べたものはあるでしょうか?

なお、東島清先生の「場の理論のまとめ」は
http://www-het.phys.sci.osaka-u.ac.jp/~higashij/lecture/pa05/ft_rev1_h17.pdfのことですね
早速目を通しました。ありがとうございました。

例えば、クーロンポテンシャルを組み込んだKG方程式をDirac方程式にしないで、√したまま固有値の式にすれば(少し無理がありますが…保存系の場合許されるのでは?と思っています)、簡単に水素原子の微細構造の式が得られます。この場合、負エネルギーは無視しています。これをどう捉えたら良いか悩んでいます。
KENZOU - Re: 質問です 2016/08/15 (Mon) 21:56:53
>あの積分計算を実行する方法について述べたものはあるでしょうか?

資料3)をご覧ください。

>クーロンポテンシャルを組み込んだKG方程式をDirac方程式にしないで、√したまま固有値の式にすれば、簡単に水素原子の微細構造の式が得られます。この場合、負エネルギーは無視しています。これをどう捉えたら良いか悩んでいます。

H∝√としてHΨ=EΨを解くわけですか。√の中の演算子の処理をどうする? まさかどこかで2乗してルートを外しているということはないと思いますが、ワタシはこの技術的な問題にクラクラしてしまい、アドバイスできるヒントが浮かびません。。。

少し余談ですが、歴史的な話として、シュレーディンガーは第Ⅳ論文(シュレーディンガー選集1・共立出版)で相対論的な波動方程式としてクライン・ゴードン(CG)方程式を導き、水素原子のエネルギー準位を求めましたが、実験に合う結果が得られなかった。スピンを考えに入れればうまくいっただろうとは言っていますが、それ以上はやらなかった。そこで彼は相対論を諦め、水素原子の非相対論的取り扱い(シュレーディンガー方程式)を先にしたということです。
CG方程式で E<<mc^2 という非相対論的近似をすればシュレーディンガー方程式がでてきます。シュレーディンガー方程式にはスピンという概念が含まれていないので、この方程式に従うのはスピンが0の粒子、したがってCG方程式はスピンが0のボ―ズ粒子を記述する方程式となります。シュレーディンガーの相対論は電子の電磁的相互作用の記述には不適だったのですね。
バク - Re: 質問です 2016/08/16 (Tue) 17:24:47
ご丁寧な返信ありがとうございます。

>√の中の演算子の処理…
これは私が考えたことなのですが…

運動量演算子をP、運動量関数をp(r)と表すと、Schrödinger方程式ではP^2ψ_n=p(r)^2ψ_nになります。すると、水素原子の場合

{(P^2)/2m}ψ_n+V(r)ψ_n
={p(r)^2/2m}ψ_n+V(r)ψ_n=0

ここで、{p(r)^2/2m}ψ_n+V(r)ψ_nはrの関数部分が消され、Bohr模型と一致します。

このような、運動量関数とポテンシャル関数の和で関数部分が打ち消されて(p(r)^2にV(r)を消してしまう項ができて、定数だけの式になる)、定数値のみの式に書き直せるのは、水素原子のような保存系に限られた結果だと思います。

この考えを水素原子のKG方程式に適用させます。その上で、ψ_n→ψ_nj j=ℓ+s
に拡張させれば、Dirac方程式で求めた水素原子のエネルギー準位と一致します。

これは前期量子論のゾンマーフェルド模型に近いものがあります。
本来はWKB法でゾンマに持って行くべきなのかも知れませんが、計算がゾンマよりはるかに簡単で同じ結果が得られます。

資料3)とシュレーディンガーの第Ⅳ論文は目を通します。

ありがとうございました。
バク - Re: 質問です 2016/08/17 (Wed) 23:56:36
不変デルタ関数の積分について、あもん様が丁寧な回答をアップしていただけました。
良かったら参考に覗いてみてください。私は大変勉強になりました。
何しろ複素積分が苦手なものですので…
http://www.kikuya-rental.com/bbs/?owner_name=amonphys&action=img&thread_id=146&reply_id=5&number=1&size=3
KENZOU - Re:質問です 2016/08/18 (Thu) 10:09:11
よかったですね。

>複素積分が苦手なものですので

このHPの数学のコーナーに「対話・ローラン展開と留数・主値積分」というレポートをアップしていますが,ひょっとしたら参考になるかも知れません。 
カエル

間違いでしょうか?

0 2016/08/17 (Wed) 19:03:50
大学で流体力学を学んでおり、参考にさせていただいています。

2.流体力学講話・つまみ食い(その2)

の13ページ最下行の法線ベクトルと流速ベクトルの間の記号なのですが、「//」ではなく「⊥」ですよね?僕が間違いなのか気になるので、よろしくお願いします。
KENZOU - Re:間違いでしょうか? 2016/08/17 (Wed) 20:35:49

カエルさん,こんにちは,KENZOUです。

>法線ベクトルと流速ベクトルの間の記号なのですが、「//」ではなく「⊥」ですよね?

違います。「⊥」ではなく「//」です。

Φ=constは等ポテンシャル面ですね。これは山の等高線に当たり,山の傾斜は∇Φ=(i∂/∂x+j∂/∂y+k∂/∂z)Φで与えられます。等ポテンシャル面の法線ベクトルをnとすると∇Φ//nですね。v=∇Φなので,n//vとなるわけです。

拙い画像ですが参考までにを添付しておきます。
徳田雅彦

ご無沙汰しています

0 2016/05/29 (Sun) 07:56:11
以前、Lienard-Wiechertポテンシャルでお世話になった徳田雅彦です。

覚えていただいていますか?

その後、記事はさらに充実し、書籍もだすなどますますご活躍のようですね。

ご無沙汰していましたが、経路積分などはしっかり読ませていただきました。

私の方は、私の一般相対論(Newton力学的一般相対論)を発展させて、内部解やカーの解なども導出までできました。
さらにEinsteinの目指した統一場理論に取り組み、限定的ですが(静電場や静磁場、周期的な電磁場)うまくいきました。良かったら下記をご覧ください。
http://phsc.jp/dat/rsm/20150522_14BPM2.pdf

今は場の量子論を勉強しながら一般相対論的量子論を考えています。
その一つの試みとしてラムシフトや水素原子にある電子の異常磁気モーメントについて計算したところ、結構一致しました。
概要については下記をご覧ください。
http://phsc.jp/dat/rsm/20160524_19BPM1.pdf
これについては6月19日(日)の「科学基礎論学会」(埼玉大学)の講演会とポスタセッションで発表します。http://www.phsc.jp/
お近くにお住まいでお時間が取れるのなら覗いてください。

KENZOU - Re:ご無沙汰しています 2016/05/29 (Sun) 20:02:25
徳田さん,こんにちは,KENZOUです。暑い日がつづきますね。

>覚えていただいていますか?

忘れていませんよ。その後,テンソル計算を伴わない「Newton力学的一般相対論」を一層発展させ,統一場理論にまで理論を拡張されつつあるのですか。pdfをざっと拝見しましたが,なかなか力作のようですね。「科学基礎論学会」での発表,頑張ってください。

小生は,暑さのためか体がけだるく,Activityが降下してきています。群論関係の本などを齧り読みしていますが,なかなか前には進みません(笑い)。

これからいよいよ本格的な暑さが到来してきますが,お体に気を付けてください。
匿名 - Re:ご無沙汰しています 2016/05/30 (Mon) 23:17:39 Mail
>群論関係の本など…
ご存じかも知れませんが、私は下記のサイトで勉強をしました。
非常にコンパクトにまとめてあります。SU(3)は少し簡潔すぎて、私にはきつくチェックし切れていません。その部分はEMANのサイトに詳しく触れられているので、後々に読もうと思っています。
http://amonphys.web.fc2.com/amongt.pdf
http://eman-physics.net/math/lie12.html
KENZOU

力学の本がでます

0 2016/03/19 (Sat) 17:33:12
「イメージでつたわる! わかる力学」(秀和システム)が3月26日に刊行されます。価格は税別で1600円です。

ホームページに掲載している「社会人のための楽しい物理入門・力学」のレポートが元になっていますが,一般社会人の方々にも力学の面白さ・楽しさを分かってもらえるように,出版社との何回にもわたるやり取りを経て加筆・修正を繰り返し,やっと出版にまで漕ぎ着けることができました。

分かりやすいイラストが挿入されていたりして,「イメージでつたわる!」というフレーズがきちんと反映されていると思います。高校生の方をはじめ,大学初学年の学生が力学の基礎を見直したり,また,この方面に少しでも興味を持たれている一般社会人の方々がとっつきやすいような内容と構成にしているつもりですので,ぜひ一度お手にとってみていただければ嬉しいです。

<本書の構成>
Chapter1 力とは何か
Chapter2 質点の運動を調べよう
Chapter3 いろいろな運動を調べる
Chapter4 エネルギーとはなにか
Chapter5 運動量、力積とは
Chapter6 中心力による運動を調べよう
Chapter7 剛体の平面運動を調べよう
KENZOU

拍子ってなに?

0 2016/01/07 (Thu) 11:17:46
「社会人のための楽しい物理ノート」のコーナーに「拍子ってなに?」をUP。

ギターアンサンブルの練習で、“これはシンコペーションになっています”とかいろいろな専門用語が飛びだしたりしますが、ド素人の当方にとってはなっ、なんだそれッと思うことしばしば。。。
拍子のことを改めて勉強しなおすことに...
KENZOU

駆け足で眺めるクラシック音楽の歴史

0 2015/12/28 (Mon) 14:40:26
「社会人のための楽しい物理ノート」のコーナーに「駆け足で眺めるクラシック音楽の歴史」をUP。

ギターアンサンブルの先生が「ロマン派音楽は云々・・・」とか、バッハはどうだこうだとか、いろいろご指導されるので、全く知識が無いようではイカンということでまとめた備忘録です。
KENZOU

ミンコフスキー空間

0 2015/12/24 (Thu) 15:34:41
「社会人のための楽しい物理ノート」のコーナーの「特殊相対性理論のお話」にミンコフスキー空間を追記しました。
KENZOU

「クラシックギターの種類」を追記

0 2015/12/21 (Mon) 10:11:35
「クラシックギター一口メモ」に「クラシックギターの種類」を追記しました。
KENZOU

流体力学Tips全5話をUP

0 2015/12/20 (Sun) 17:56:45
「流体力学」のコーナ―に流体力学Tips全5話をUPしました。テーマは管理者の気分で選択しています。
KENZOU

「クラシックギター一口メモ」をUP

0 2015/08/30 (Sun) 09:57:04
「社会人のための楽しい物理ノート」のコーナーに「クラシックギター一口メモ」をUPしました。ネットに掲載されているクラシックギターのいろいろな情報を自分自身の備忘録としてまとめました。
KENZOU

恒星は燃えている,人工衛星の運動をUP

0 2015/08/09 (Sun) 14:44:06
「社会人のための楽しい物理ノート」のコーナーに「恒星は燃えている」,「人工衛星の運動」をUPしました。前者は「星の光る理由」の圧縮要約版で後者は宇宙速度についてのお話。
KENZOU

特殊相対性理論のお話をUP

0 2015/06/26 (Fri) 23:05:30
「社会人のための楽しい物理ノート」のコーナーに「特殊相対性理論のお話」をUPしました。数式はできるだけ使わず、対話形式でわかりやすくまとめています。まだ未完の一部が残っていますが、そのうちに埋めようと思っています。
KENZOU

「フラクタルその3」をUP

0 2015/06/01 (Mon) 22:21:51
「社会人のための楽しい物理ノート」のコーナーに「フラクタルその3」をUPしました。複雑な海岸線のフラクタル次元の求め方を分かりやすく解説しています。
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